Els nombres amics

Nombres amics

Dos nombres amics són dos nombres enters positius tals que la suma dels divisors propis de un dels dos nombres es igual a l’altre (la unitat es considera divisor propi, però no ho és el mateix nombre).

Un exemple és el parell (220, 284), ja que:

·  els divisors propis de 220 són 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, que sumen 284

· els divisors propis de 284 són 1, 2, 4, 71 i 142, que sumen 220

Per als pitagòrics els nombres amics tenien moltes propietats místiques.

Alrededor de l’any 850, Tabit ibn Qurra (826-901) va descobrir una fórmula general per la qual es podien trobar nombres amics:

                                                      si               p = 3 × 2^n-1 - 1,

                                                            q = 3 × 2ⁿ - 1,

                                                             r = 9 × 2^2n-1 - 1,

on n > 1 és enter i p, q, i r són nombres primers, llavors     2ⁿpq y    2ⁿr     són un parell de nombres amics

Aquesta fórmula genera els pars (220, 284), (17.296, 18.416) i (9.363.584, 9.437.056).

El parell (6232, 6368) també es de números amics, però no es pot trobar per la fórmula anterior.

Si un nombre és amic de sí mateix (es igual a la suma dels seus divisors propis), rep el nom de nombre perfecte.

SISTEMA BINARI

El sistema binari és un sistema de numeració en el que tots els nombres es representen en xifres de zero i un (0 i 1). Aquest sistema és el llenguatge de la informàtica i dels ordenadors, ja que utilitzen dos nivells diferents de voltatge, on 1 significa encès i 0, apagat. De totes maneres, aquest sistema resulta útil en molts altres camps com en les enginyeries.

La primera descripció que es coneix d'un sistema de numeració binari és del segle III a.C., escrita per l'antic matemàtic indi Pingala. Açò va coincidir amb el seu descobriment del concepte del nombre zero.

Al segle XVII, Leibniz va exposar les bases del que més tard seria el sistema binari modern. En el seu article "Explication de l'arithmétique Binaire", va esmentar els símbols binaris que empraven els matemàtics xinesos i Leibniz va utilitzar el 0 i l'1 per representar aquests símbols; igual que en el sistema de numeració binari actual. El 1854, el matemàtic britànic George Boole va publicar un dels articles més importants en aquest camp,en el que detallava un sistema de lògica que va acabar anomenant-se: Àlgebra de Boole. Aquest sistema va exercir un paper fonamental en el desenvolupament del sistema binari actual, sobretot en el desenvolupament de circuits electrònics.

Un bit és un dígit binari (0 o 1). Aquesta paraula prové de les paraules angleses "binary digit". Per exemple, el nombre 11010 té cinc bits de longitud. Un nombre qualsevol pot ser representat per qualsevol seqüència de bits, que solen representar qualsevol mecanisme capaç d’emprar dos estats. Per mostrar que un nombre està en binari, posem un petit 2 darrer el nombre, per exemple: 101₂

Decimal a binari

Per passar de decimal a binari, hem de dividir el nombre decimal entre 2, el quocient del qual hem de tornar a dividir entre dos i així fins que el dividend sigui 1.

Decimal a binari

Per transformar un nombre del sistema decimal al sistema binari, comencem per la banda dreta del nombre en binari. Cada xifra l’hem de multiplicar per 2 elevat al nombre de la posició en què es trobi la xifra. Després de realitzar cada multiplicació, sumem tots els nombres resultants i el resultat serà el nombre en sistema decimal.

Mariona Barceló Genestar 1r B

L'aparició dels nombres mitjançant l'1

Un fet molt curiós dels nombres, és que si tu fas les següents multiplicacions, cada vegada t'apareixeran un numero més. Observeu:                                                                                                                       1 i 1 = 11 Ara hem aconseguit tenir dos uns.                                                                                                                 Ara si fem 11 * 11= 121 fent aquesta multiplicació ja hem aconseguit tenir el nombre 2.          O si fem 111 * 111= 12321 ara posant-li un 1 més, hem aconseguit  el nombre 3.                              I si ara multipliquem 1111 * 1111= 1234321 fent el mateix procediment que abans hem aconseguit el nombre 4.                                                                                                                                                                I si seguissim fent aquest procediment veuriem com apareixerien el 5, el 6, el 7, el 8 i el 9. Per tant es un fet curiós que a mesura que anem afegint uns i ho multipliquem per el mateix nombre, aconseguim els nombres de l'1 al 9.

0.9999999... = 1?

Tots pensareu que l'afirmació que es fa al títol és totalment falsa però quotidianament, de manera inconscient, utilitzam aquesta igualtat. Per exemple, si hem de partir una unitat de qualsevol cosa en tres parts iguals, aquestes quedarien així:

1/3= 0.3333333333333333333333333333...

1/3= 0.3333333333333333333333333333...

1/3= 0.3333333333333333333333333333...

Però si ara les ajuntam de nou:

3/3= 0.9999999999999999999999999999...

1= 0.99999999999999999999999999999...

De fet, això ocorr amb més nombres com el número 2:

2/3= 0.66666666666666666666666666666...

2/3= 0.66666666666666666666666666666...

2/3= 0.66666666666666666666666666666...

6/3= 1.99999999999999999999999999998...

2= 1.999999999999999999999999999998...

I torna a ocórrer un fet similar si la unitat és dividida per un nombre com 9, per exemple:

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

1/9= 0.111...

9/9= 0.999...

1= 0.999...

De fet, s'ha arribat a establir que 0.999... = 1 en els llibres de matemàtiques. S'han trobat diverses maneres molt complexes per explicar aquest fenomen i s'ha debatut moltes vegades si aquesta afirmació és verídica.

Ara que hem fet les successions a classe voldria compartir una curiositat que he vist a la Viquipèdia. Es tracta de la sèrie divergent 1-2+3-4+...

En teoria, aquesta sèrie no té suma. Però Euler va descobrir que la suma de m termes d'aquesta successió sumats donava exactament 1/4.

La viquipèdia ho explica així:

"Degut a que els termes (1, −2, 3, −4, 5, −6, ...) segueixen un patró simple, es pot expressar a la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... com una versió transformada d'ella mateixa i resoldre l'equació resultant per obtenir un valor numèric. Suposant que fos correcte expressar s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... per algun nombre s, les següents relacions condueixen a mostrar que s = 1/4:

s	= 1 − 2 + 3 − 4 + ...
	= (1 − 1 + 1 − 1 + ...) + (0 − 1 + 2 − 3 + ...)
	= h − s, on h és la "suma" de la sèrie:

h	= 1 − 1 + 1 − 1 + ...
	= 1 − (1 − 1 + 1 − ...)
	= 1 − h.

Resolent les equacions h = 1 − h i s = h − s s'obté que h = 1/2 i s = (1/2)h = 1/4.

En forma equivalent, es pot reordenar les equacions d'un forma d'obtenir (s + s) + (s + s) = h + h = 1, la qual novament implica que s = 1/4; sent aquesta la forma que es mostra al esquema de la dreta i en l'expressió a continuació:

 s = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . . .
s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . .

 s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
s =       + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .

--------------------------------------

 4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .  "

Si ara aïllassim s veuríem que:

s= 1/4

Bon profit. Hanaga.

El nombre Mach

El nombre Mach ( M ), és una mesura de velocitat relativa que es defineix com el quocient entre la velocitat d'un objecte i la velocitat del so en el medi en què es mou l'objecte. Aquesta relació es pot expressar segons l'equació:


 Vs : És un valor que depèn del medi físic en el qual es transmet el so .
És un nombre adimensional típicament usat per descriure la velocitat dels avions . Mach 1 equival a la velocitat del so , Mach 2 és dues vegades la velocitat del so , etc .
Aquest nombre va ser proposat pel físic i filòsof austríac Ernest Mach (1838-1916) , un dels més grans teòrics de la física dels segles XIX -XX , com una manera senzilla d'expressar la velocitat d'un objecte respecte a la velocitat del so .
La utilitat del nombre de Mach és que permet expressar la velocitat d'un objecte no de forma absoluta en km / home / s , sinó prenent com a referència la velocitat del so , alguna cosa interessant des del moment en què la velocitat del so canvia depenent de les condicions de l'atmosfera . Per exemple , com més gran sigui l'altura sobre el nivell del mar o menor la temperatura de l'atmosfera , menor és la velocitat del so . D'aquesta manera , no cal saber la velocitat del so per saber si un avió que vola a una velocitat donada l'ha superat : només cal saber el seu número de mach .
Normalment , les velocitats de vol es classifiquen segons el nombre de Mach en :

    Subsònic M < 0,7
    Transónic 0,7 > M < 1,2
    Supersònic 1,2 > M <5
    Hipersònic M > 5
Des del punt de vista de la mecànica de fluids , la importància del nombre de Mach resideix en la seva relació amb la compressibilitat d'un gas ; quan aquest nombre és menor de 0,3 es considera fluid incompressible en l'estudi d'aerodinàmica i models amb aire o gasos , simplificant notòriament els càlculs realitzats per ordinador .

Els nombres, avorrits o interessants?

Nombres " avorrits " i " interessants " són conceptes usats pels matemàtics per denominar als números que tenen certes propietats curioses o no.
Un clar exemple seria el nombre 142857 , perquè si ho multipliques per  2, 3, 4, 5 ... obtens un nombre que conté les mateixes xifres que aquest:

142857 x 2 = 285.714

142857 x 3 = 428.571

142857 x 4 = 571.428 i etc ...

Però en multiplicar per 7 , obtens un nombre més interessant encara; 999999 . I és que el 7 i el 142857 estan molt ben relacionats , encara que veient el resultat d'aquesta multiplicació no ho sembli. Però si divideixes 1/7, quin nombre obtens? En efecte, 0,142857142857142857... Però la cosa no acaba aquí :
2/7 = 0,285714285714285714 ...

3/7 = 0,428571428571428571 ...

4/7 = 0,571428571428571428 ...

A més , si als tres últims dígits (857) elevats al quadrat els restes dels tres primers dígits (142) elevats al quadrat obtens : 714285

 Més nombres interessants: tot nombre enter; Tot conjunt no buit d'enters positius conté un element mínim i això el fa ser interessant.

Suposem que existeix almenys un nombre positiu no interessant . Llavors el conjunt de tots els nombres positius no interessants no és buit i per tant té un mínim: el menor nombre positiu no interessant ,que per ser precisament el menor nombre positiu no interessant és interessant . Els nombres negatius són interessants ja que el seu invers additiu és un nombre interessant , i el 0 , per múltiples raons , com per exemple que no es considera ni parell ni imparell, és també un nombre interessant. Per tant , tots els nombres enters són interessants.
Agafem el 1729. És un nombre molt interessant, ja que és el menor nombre enter positiu expressable com la suma de dos cubs en dues formes diferents :
1729 = 93 + 10 3 = 13+123

El dia de demà compleixo 50 anys . 50 és un nombre molt interessant , és el menor enter positiu expressable com la suma de dos quadrats de nombres positius en dues formes diferents :
50 = 5 ² +5 ² =  1² + 7²

I pel que fa al primer número 1089 ... és molt interessant!
Seleccioneu qualsevol nombre de tres dígits diferents , diguem 257 , invertiu-lo, o sigui 752, resteu el menor del major, 752-257 = 495 ( si el resultat és un nombre de dos dígits, davant poseu un 0 ), invertiu els seus dígits i sumeu-lo amb l’original, és a dir, 594 + 495. I que resulta? Sempre 1089!

Tenint en compte els exemples posats i aplicant una "regla de 3 simple i directa", podríem dir que els números avorrits no existeixen, ja que si dividim els nombres en dos grups, Interessants i Avorrits, i el nombre més petit del grup dels Avorrits es guanya el lloc entre els Interessants per ser el mes petit del grup, i seguim aplicant aquesta mateixa regla, tots els números acabarien sent del grup dels Interessants!

 

 

         

Nombres irracionals

De vegades se suposa erròniament que els matemàtics defineixen els "nombres irracionals", en termes d'expansions decimals, declarant que un nombre és irracional si la seva expansió decimal no es repeteix ni acaba. Cap matemàtic pren aquesta definició en consideració, ja que l'elecció de la base 10 és arbitrària i la definició estàndard és molt millor.
De tota manera, és cert que un nombre té la forma n/m on n i m són enters, si i només si la seva expansió decimal es repeteix o acaba. Quan l'algorisme de divisió euclidiana que s'aprèn a l'escola s'aplica a la divisió de n per m, només són possibles m residus. Si el residu és 0, l'expansió decimal s'atura. Si el residu no és 0, l'algorisme només pot córrer m − 1 vegades sense usar un residu més d'un cop. Si un residu es repeteix, l'expansió decimal també!
A la inversa, suposem que trobem una expansió decimal periòdica, per exemple:
A = 0,7162162162...

Com que la longitud del període és 3, multipliquem per 10³:

1000A = 716,2162162...
Observem que tant el valor numéric d'A com el de 1000A tenen la mateixa cua, el període 162. Per tant, si restem A dels 2 costats de l'última igualtat, la cua s'anul·larà:
999A = 715,5
Llavors
A = 715,5/999 = 7155/9990 = 53/74 (trobant el màxim comú divisor)
53/74 és un quocient d'enters, i per tant un nombre racional.