Nombres irracionals

De vegades se suposa erròniament que els matemàtics defineixen els "nombres irracionals", en termes d'expansions decimals, declarant que un nombre és irracional si la seva expansió decimal no es repeteix ni acaba. Cap matemàtic pren aquesta definició en consideració, ja que l'elecció de la base 10 és arbitrària i la definició estàndard és molt millor.
De tota manera, és cert que un nombre té la forma n/m on n i m són enters, si i només si la seva expansió decimal es repeteix o acaba. Quan l'algorisme de divisió euclidiana que s'aprèn a l'escola s'aplica a la divisió de n per m, només són possibles m residus. Si el residu és 0, l'expansió decimal s'atura. Si el residu no és 0, l'algorisme només pot córrer m − 1 vegades sense usar un residu més d'un cop. Si un residu es repeteix, l'expansió decimal també!
A la inversa, suposem que trobem una expansió decimal periòdica, per exemple:
A = 0,7162162162...

Com que la longitud del període és 3, multipliquem per 10³:

1000A = 716,2162162...
Observem que tant el valor numéric d'A com el de 1000A tenen la mateixa cua, el període 162. Per tant, si restem A dels 2 costats de l'última igualtat, la cua s'anul·larà:
999A = 715,5
Llavors
A = 715,5/999 = 7155/9990 = 53/74 (trobant el màxim comú divisor)
53/74 és un quocient d'enters, i per tant un nombre racional.

ALGUNS NOMBRES REALS

ELS NOMBRES REALS

El conjunt dels nombres reals, simbolitzat per la lletra R, està format per tots els nombres racionals i tots els nombres irracionals. És a dir, tots els nombres que poden escriure's en forma decimal, sigui aquesta exacta, periòdica o no periòdica. Els racionals són els nombres que es poden posar com a quocient de dos nombres enters, la seva expressió decimal és exacta o periòdica i dins hi trobam els enters: on a la vegada hi ha els naturals (0, 4, 24/6) i els enters negatius (-3, -27/3); i també hi trobam els fraccionaris (5’64, 3/4, -4/5). Per altra banda, els nombres irracionals són aquells que no poden obtenir com a quocient de dos nombres enters, la seva expressió decimal és infinita periòdica (π : 3’14159265...).

EL NOMBRE D’OR Φ

És, històricament, el primer número irracional què es va tenir consciència que ho era. En el segle V aC, els grecs pitagòrics varen descobrir que la diagonal del pentàgon i el seu costat no guardaven una proporció exacta. Fins aleshores es creia que tot l’univers es regia pels nombres naturals i les proporcions entre ells, però van descobrir que no era així i això va crear un caos total. Per això, van anomenar irracional, contrària a la raó, aquesta relació entre diagonal i costat del pentàgon regular. És designat per la lletra grega Φ (fi) en honor a Fídies, un escultor grec que va utilitzar reiteradament aquesta proporció.

EL NOMBRE π

π és  una constant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre. El símbol π es pronuncia (pi) i és la setzena lletra de l'alfabet grec. Pi és un nombre irracional, és a dir, la seva part fraccionària té un nombre de xifres infinit i a més no té cap període. Per fer càlculs pràctics s'agafa un valor simplificat, com per exemple 3,14159265. El nombre π, a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferència, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: la superfície del cercle, la superfície i el volum de l'esfera... i també en nombroses equacions de física.

EL NOMBRE e

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals i un dels nombres reals més importants. Es considerat el nombre per excel·lència del càlcul. El nombre e intervé en càlculs com podria ser la velocitat en el buidat d'un dipòsit d'aigua, el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil. El nombre e també és present en altres camps de la ciència i la tècnica com l'electrònica. 

LA CRIPTOLOGIA, ENTREM DINS LA ENCRIPTACIÓ EN COMPUTACIÓ

INTRODUCCIÓ, LA CRIPTOLOGIA
La Criptologia estudia les maneres de xifrar missatges. Això es fa des de temps molt antics. Ja al segle I abans de Crist Juli Cèsar es comunicava amb els seus generals amb missatges xifrats. Utilitzava un sistema que consistia en desplaçar cada lletra quatre posicions endavant en l'alfabet (CESAR => GIWEV).

També els hebreus xifraven textos, segons el que esmenta la Bíblia, mitjançant l'ús de l'alfabet invertit. Reemplaçaven la primera lletra de l'alfabet per l'última, la segona, per la penúltima, etc. Aquest sistema s'anomena Atbash.

ENCRIPTACIÓ EN COMPUTACIÓ (ORDENADOR)

L'encriptació en ordinadors, està basada en la ciència de la criptologia, ja explicada anteriorment. Avui en dia, la majoria dels sistemes de criptografia són aplicables a ordinadors, simplement perquè la complexitat dels algoritmes és massa per ser calculada per éssers humans. A més, l’encriptació és de vital importància en una societat com la nostra per poder enviar informació de manera segura.

Existeixen tres processos per encriptar dades (informació): els algoritmes HASH, els simètrics i els asimètrics.

- Els algoritmes HASH fan un càlcul matemàtic sobre les dades que constitueixen el document i dóna com a resultat un nombre únic anomenat MAC. Un mateix document donarà sempre un mateix MAC.

Un exemple de HASH és l’algoritme de reducció criptogràfica de 128 bits MD5. La codificació del MD5 de 128 bits és representada típicament com un nombre de 32 dígits hexadecimal. El següent codi de 24 bytes ASCII serà tractat amb MD5 i veurem el seu corresponent hash de sortida:

MD5("Hola, això és un exemple") =

= e0abebf127665cbbb6a6aa5ef6e8f27b

Un simple canvi en el missatge, provoca un canvi total en el seu xifrat (hash).

No explicaré més del MD5 perquè el procés que du a terme per aconseguir xifrar un missatge és molt complicat i requereix un cert nivell de matemàtiques. (Més informació en aquest enllaç).

- Els algoritmes simètrics utilitzen una clau amb la qual s'encripta i desencripta el document. Tot document encriptat amb una clau, haurà de desencriptar-se, en el procés invers, amb la mateixa clau.

Un exemple d’aquest procés seria el xifrat XOR, que com indica el seu nom, és un algoritme de xifrat basat en l'operador binari XOR. Segons aquest mètode, el missatge xifrat s'obté a partir d'una paraula clau. Es fa una llista amb totes les lletres del missatge original i es posa en paral·lel amb una altra llista formada per les lletres de la paraula clau repetida tantes vegades com sigui necessari. Per exemple, si la paraula clau és SOL i el missatge que es vol enviar és EN MARC ÉS GUAPO, la taula quedaria així:

E

N

M

A

R

C

É

S

G

U

A

P

O

S

O

L

S

O

L

S

O

L

S

O

L

S

O

L

S

Ara, ambdues columnes han de ser reemplaçades per tires de bits, en aquest cas emprarem la codificació ASCII en 8 bits. Cada lletra serà reemplaçada per la seva identificació en bits. Quedarà així:

01000101 (E)	01010011 (S)	Després, s'aplica entre ambdues columnes l’operador XOR. La columna resultant de l'operació, que està en bits, es tradueix al símbol sent aquest el missatge xifrat. El receptor, coneixent la paraula clau, torna a armar la taula amb l'operació XOR recuperant d'aquesta manera el missatge original. Encriptació del tercer símbol: (espai) XOR L equival l 0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 0 0 = 0 0 1 = 1 0 1 = 1 0 0 = 0 0 0 = 0 D'aquesta manera s'encripta cada símbol fins encriptar tot el mistge. L'operador XOR és molt comú com a part de xifrats més complexos. No obstant això, per si sol el xifrat XOR és molt vulnerable i és molt fàcil obtenir la clau a través de l'anàlisi de diversos missatges xifrats amb la mateixa clau. Per aquesta raó, aquest mètode ja no s'empra.
01001110 (N)	01001111 (O)
00100000 ( )	01001100 (L)
01001101 (M)	01010011 (S)
01000001 (A)	01001111 (O)
01010010 (R)	01001100 (L)
01000011 (C)	01010011 (S)
00100000 ( )	01001111 (O)
11001001 (É)	01001100 (L)
01010011 (S)	01010011 (S)
00100000 ( )	01001111 (O)
01000111  (G)	01001100 (L)
01010101 (U)	01010011 (S)
01000001 (A)	01001111 (O)
01010000 (P)	01001100 (L)
01001111 (O)	01010011 (S)

- Els algoritmes asimètrics requereixen dos claus, una privada (única i personal, només coneguda pel seu amo) i l'altra anomenada pública, ambdues relacionades per una fórmula matemàtica complexa. La clau pública serveix per encriptar i la privada per desencriptar.

Un exemple d’aquest procés seria RSA (Rivest, Shamir i Adleman), que és un sistema criptogràfic de clau pública desenvolupat el 1977. És el primer i més utilitzat algorisme d'aquest tipus.

El seu funcionament és molt complicat i és necessita un cert nivell de matemàtiques per poder-ho entendre. Però resumint, l’algoritme consta de tres passes: generació de claus, xifrat i desxifrat. (Més informació en aquest enllaç).

El nombre auri Φ

EL NOMBRE D’OR

El nombre d’or o nombre auri és el nombre irracional que sorgeix a partir de la divisió d’un segment major entre un segment menor, que és el mateix que dividir la totalitat entre el segment major. Així, s’estableix una relació de grandària amb la mateixa proporcionalitat anomenada divina proporció. El nombre auri va ser descobert per Fibonacci, i es representa amb la lletra grega Φ (fi), en honor seu.

Del nombre auri deriva: la Seqüència de Fibonacci, que és la manera amb la qual ens podem aproximar al nombre fi. Consisteix en sumar un nombre amb el seu anterior, que dóna lloc a una seqüència infinita de nombres cada vegada més grans. Si després dividim un nombre entre el seu anterior, tindrem un nombre semblant a fi, com més grans els nombres, més ens i atracem, però mai el tindrem sencer. L’Espiral de Duredo s’obté quan a un rectangle auri li afegim sobre el seu costat major un quadrat, i obtenim un altre rectangle auri. Si unim els punts dels quadrats, obtindrem aquest espiral tan peculiar. També hi ha l’Angle d’or, que s’opten dividint els graus d’una circumferència (360º) entre el nombre fi més una unitat= 360/ Φ+1.

El nombre d’or s’ha aplicat a grans i importants construccions com la piràmide de Keops, a temples de l’antiga Grècia que es basaven en la geometria, en pintures molt famoses com la Mona Lisa de Leonardo Da Vinci i en la música. Fins hi tot, es diu que la naturalesa està escrita amb el nombre d’or. L’han trobat en l’estructura microscòpica d’alguns cristalls i microorganismes, en la distribució dels pètals de les flors i les fulles que rodegen el tall, en el cor de  margarites i gira-sols on podem observar espirals que comprenen el nombre fi, en el nombre de pètals, en les ramificacions d’arbres i en la distribució de les seves arrels. Inclús apareix en l’estructura de galàxies com la mateixa Via Làctia i en la definició de la dinàmica dels forats negres. Amés, s’ha descobert que un forat negre passa de escalfar-se a refredar-se quan el quadrat de la seva massa dividit entre el quadrat de la velocitat en que roda donen com a resultat fi.

L’equació que representa el nombre fi és:

Alguna de les fonts consultades: http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_fi

Tau, l'enemic de Pi?

Tau, l'enemic Pi?

Pi és una de les constants matemàtiques més fascinants i estudiades de la història, i fins hi tot hi ha gent que el considera com el valor més important del món. Consideram el nombre Pi (3'14...) com un Déu, ja que és un nombre irracional amb infinits decimals. Molts problemes matemàtics no s'entendrien sense el nombre Pi. Per exemple, com calcular el diàmetre de una circumferència (2·Pi·r) sense Pi? Senzillament és impossible, i impossible és també entendre molts altres problemes matemàtics sense aquest gran nombre que tants personatges importants d'aquesta amplia ciència han estudiat.

Però, qui es Tau i per què esta amenaçant a Pi?

Tècnicament Tau és el doble del nombre Pi (2·Pi=Tau=6'28...). Els fans de Tau consideren que aquesta constant ha de reemplaçar a Pi, ja que amb Tau molts problemes matemàtics es simplifiquen. Si el senzill procés de calcular el diàmetre d'una circumferència queda reduït a (Tau·r), imagineu altres operacions més complicades que comportin calcular el doble de Pi, potser aquestes quedarien més simplificades amb Tau.

Els seguidors de Tau no neguen la importància que Pi va tenir en la història, però senzillament diuen que Pi és la meitat de Tau. I no podrien dir els seguidors de Pi que Tau senzillament és el doble de Pi?

El físic i professor Michael Harlt argumenta perquè Tau és més natural que Pi, i diu: “si defineixes la constant del cercle com la relació de la circumferència al diàmetre, el que estàs fent realment és la relació entre la circumferència amb el doble del radi, i aquest factor de dos et persegueix a través de les matemàtiques ", si mateix també afirma que: “les circumferències tenen que veure amb diàmetres no amb radis”.

Es realment important l'existència de Tau, o és una simple curiositat matemàtica? Aconseguirà aquesta constant reemplaçar a Pi? Realment simplifica tants problemes o simplement evita haver de multiplicar per 2? Suposo que per descobrir-ho molts matemàtics hauran d'estudiar aquesta constant i treure'n conclusions. Tau o Pi, Pi o Tau? En les nostres mans està descobrir quin dels dos és més efectiu.

Fonts utilitzades:

http://www.rtve.es/noticias/20110628/tau-enemigo-del-numero-celebra-dia/444222.shtml

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://tauday.com/tau-manifesto&prev=/search%3Fq%3Dhttp://tauday.com/tau-manifesto%26hl%3Des%26biw%3D1276%26bih%3D599%26prmd%3Dimvns&sa=X&ei=Q-hpUIGAHs-1hAevx4DIAQ&sqi=2&ved=0CCQQ7gEwAA

ELS NOMBRES

Dins els nombres podem distingir els naturals ( emprats per comptar objectes ), els enters ( obtinguts d'afegir negatius ), els racionals ( quocients d'enters ) i els irracionals ( els ''déus'' ).
Dins els nombres naturals hi ha els primers, que són naturals diferents de 1 que només són divisibles per ells mateixos. Dins els primers hi ha el 2, el més petit, que ademés és l'unic que alhora de ser primer és parell.
Dins els irracionals hi trobam per exemple el nombre pi : 3,14159.... Pi és la setzena lletra de l'alfabet grec.
També hi ha el nombre d'or o fi : 1,61803...
La raó auria és la relació entre dos segments si ente el total i el segment major hi ha la mateixa relació, és a dir, el tot és al segment major igual que el major és al menor.
En definitiva els nombres són molts, infinits i n'hi ha de molt complexos.

Els nombres son polits?

La naturalesa està plena de formes matemàtiques, la primera calculadora de la història va poder ser un os, naixem amb talent per les matemàtiques, la literatura també s'inspira en les matemàtiques, la música, la pintura, les arts en general ...

Un petit exemple del programa de tv3 Tres14:
http://www.rtve.es/m/alacarta/videos/tres14/tres14-numeros-son-bellos/1270179/?media=tve

El mètode científic

Jesús Purroy compagina la recerca en genètica i neurociència amb la divulgació científica. Després de publicar el seu llibre La era del genoma. Claves para orientarse en un mundo transformado por la genética, ha publicat Tot el que cal saber per saber-ho tot, el llibre és una passejada pels fonaments del coneixement científic, qüestionant -se què és la ciència, els mètodes que s'empren per obtenir nous coneixements, la comunicació d'aquests nous coneixements, els límits i les possibilitats de la ciència, etc.

L'autor parteix del principi que les coses que passen tenen explicacions racionals i que els humans les podem entendre. En ciència, primer es defineix el fenomen, la cosa que s'esdevé. Després, es cerquen les causes d'aquest fenomen; posteriorment, s'elabora una teoria explicativa. I el risc d'error sempre està present; però l'error ensenya, i detectar un error ja és avançar.

El nombre PI

"La història de PI  reflecteix el més influent, el més greu i, de vegades, el símbol més emprant per presentar continguts  de les matemàtiques. Una sorprenent quantitat dels més importants matemàtics han contribuït a la seva evolució, directa o indirecta.

Pi és un dels pocs conceptes en les matemàtiques, la menció evoca una resposta de reconeixement i l'interès en aquells que no es tractin professionalment amb el tema. Ha estat una part de la cultura humana i la imaginació, estudiat durant més de vint segles.

Una de les refèrencies que hem trobat porta aquesta petita introducció al més famós potser nombre irracional

Una petita introducció del llibre Anaya

ELS NOMBRES 

Els nombres naturals han estat utilitzats per totes les civilitzacions des de la més remota antiguitat. El paper dels negatius i, sobretot, del zero, va resultar més difícil de concebre. Per això, els nombres enters no van acabar de prendre forma fins a finals del segle VII, a l'índia. És d'on ens van arribar per mitja dels àrabs en el segle IX, juntament amb el nostre sistema de numeració posicional. 

Les FRACCIONS es van començar a utilitzar des de molt antic, però el seu ús es va acabar de consolidar cap al segle XIV. 

Els IRRACIONALS, més que com a nombres van ser considerats com a magnituds geomètriques, i així es van entendre al llarg de quasi 2000 anys.