Els Nombres: de novembre 2013

dijous, 28 de novembre del 2013

Els nombres amics

Dos nombres amics són dos nombres enters positius tals que la suma dels divisors propis de un dels dos nombres es igual a l’altre (la unitat es considera divisor propi, però no ho és el mateix nombre).

Un exemple és el parell (220, 284), ja que:

· els divisors propis de 220 són 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, que sumen 284

· els divisors propis de 284 són 1, 2, 4, 71 i 142, que sumen 220

Per als pitagòrics els nombres amics tenien moltes propietats místiques.

Alrededor de l’any 850, Tabit ibn Qurra (826-901) va descobrir una fórmula general per la qual es podien trobar nombres amics:

si p = 3 × 2ⁿ^-1 - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

r = 9 × 2²ⁿ^-1 - 1,

on n > 1 és enter i p, q, i r són nombres primers, llavors 2ⁿpq y 2ⁿr són un parell de nombres amics

Aquesta fórmula genera els pars (220, 284), (17.296, 18.416) i (9.363.584, 9.437.056).

El parell (6232, 6368) també es de números amics, però no es pot trobar per la fórmula anterior.

Si un nombre és amic de sí mateix (es igual a la suma dels seus divisors propis), rep el nom de nombre perfecte.

dijous, 21 de novembre del 2013

SISTEMA BINARI

El sistema binari és un sistema de numeració en el que tots els nombres es representen en xifres de zero i un (0 i 1). Aquest sistema és el llenguatge de la informàtica i dels ordenadors, ja que utilitzen dos nivells diferents de voltatge, on 1 significa encès i 0, apagat. De totes maneres, aquest sistema resulta útil en molts altres camps com en les enginyeries.

La primera descripció que es coneix d'un sistema de numeració binari és del segle III a.C., escrita per l'antic matemàtic indi Pingala. Açò va coincidir amb el seu descobriment del concepte del nombre zero.

Al segle XVII, Leibniz va exposar les bases del que més tard seria el sistema binari modern. En el seu article "Explication de l'arithmétique Binaire", va esmentar els símbols binaris que empraven els matemàtics xinesos i Leibniz va utilitzar el 0 i l'1 per representar aquests símbols; igual que en el sistema de numeració binari actual. El 1854, el matemàtic britànic George Boole va publicar un dels articles més importants en aquest camp,en el que detallava un sistema de lògica que va acabar anomenant-se: Àlgebra de Boole. Aquest sistema va exercir un paper fonamental en el desenvolupament del sistema binari actual, sobretot en el desenvolupament de circuits electrònics.

Un bit és un dígit binari (0 o 1). Aquesta paraula prové de les paraules angleses "binary digit". Per exemple, el nombre 11010 té cinc bits de longitud. Un nombre qualsevol pot ser representat per qualsevol seqüència de bits, que solen representar qualsevol mecanisme capaç d’emprar dos estats. Per mostrar que un nombre està en binari, posem un petit 2 darrer el nombre, per exemple: 101₂

Decimal a binari

Per passar de decimal a binari, hem de dividir el nombre decimal entre 2, el quocient del qual hem de tornar a dividir entre dos i així fins que el dividend sigui 1.

Decimal a binari

Per transformar un nombre del sistema decimal al sistema binari, comencem per la banda dreta del nombre en binari. Cada xifra l’hem de multiplicar per 2 elevat al nombre de la posició en què es trobi la xifra. Després de realitzar cada multiplicació, sumem tots els nombres resultants i el resultat serà el nombre en sistema decimal.

Mariona Barceló Genestar 1r B

diumenge, 10 de novembre del 2013

L'aparició dels nombres mitjançant l'1

Un fet molt curiós dels nombres, és que si tu fas les següents multiplicacions, cada vegada t'apareixeran un numero més. Observeu: 1 i 1 = 11 Ara hem aconseguit tenir dos uns. Ara si fem 11 * 11= 121 fent aquesta multiplicació ja hem aconseguit tenir el nombre 2. O si fem 111 * 111= 12321 ara posant-li un 1 més, hem aconseguit el nombre 3. I si ara multipliquem 1111 * 1111= 1234321 fent el mateix procediment que abans hem aconseguit el nombre 4. I si seguissim fent aquest procediment veuriem com apareixerien el 5, el 6, el 7, el 8 i el 9. Per tant es un fet curiós que a mesura que anem afegint uns i ho multipliquem per el mateix nombre, aconseguim els nombres de l'1 al 9.

dilluns, 4 de novembre del 2013

0.9999999... = 1?

Tots pensareu que l'afirmació que es fa al títol és totalment falsa però quotidianament, de manera inconscient, utilitzam aquesta igualtat. Per exemple, si hem de partir una unitat de qualsevol cosa en tres parts iguals, aquestes quedarien així:

1/3= 0.3333333333333333333333333333...

Però si ara les ajuntam de nou:

3/3= 0.9999999999999999999999999999...

1= 0.99999999999999999999999999999...

De fet, això ocorr amb més nombres com el número 2:

2/3= 0.66666666666666666666666666666...

6/3= 1.99999999999999999999999999998...

2= 1.999999999999999999999999999998...

I torna a ocórrer un fet similar si la unitat és dividida per un nombre com 9, per exemple:

1/9= 0.111...

9/9= 0.999...

1= 0.999...

De fet, s'ha arribat a establir que 0.999... = 1 en els llibres de matemàtiques. S'han trobat diverses maneres molt complexes per explicar aquest fenomen i s'ha debatut moltes vegades si aquesta afirmació és verídica.

Ara que hem fet les successions a classe voldria compartir una curiositat que he vist a la Viquipèdia. Es tracta de la sèrie divergent 1-2+3-4+...

En teoria, aquesta sèrie no té suma. Però Euler va descobrir que la suma de m termes d'aquesta successió sumats donava exactament 1/4.

La viquipèdia ho explica així:

"Degut a que els termes (1, −2, 3, −4, 5, −6, ...) segueixen un patró simple, es pot expressar a la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... com una versió transformada d'ella mateixa i resoldre l'equació resultant per obtenir un valor numèric. Suposant que fos correcte expressar s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... per algun nombre s, les següents relacions condueixen a mostrar que s = 1/4:

s	= 1 − 2 + 3 − 4 + ...
	= (1 − 1 + 1 − 1 + ...) + (0 − 1 + 2 − 3 + ...)
	= h − s, on h és la "suma" de la sèrie:

h	= 1 − 1 + 1 − 1 + ...
	= 1 − (1 − 1 + 1 − ...)
	= 1 − h.

Resolent les equacions h = 1 − h i s = h − s s'obté que h = 1/2 i s = (1/2)h = 1/4.

En forma equivalent, es pot reordenar les equacions d'un forma d'obtenir (s + s) + (s + s) = h + h = 1, la qual novament implica que s = 1/4; sent aquesta la forma que es mostra al esquema de la dreta i en l'expressió a continuació:


 s = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . . .
s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . .
 s =   + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
s =       + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .

--------------------------------------

4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . "

Si ara aïllassim s veuríem que:

s= 1/4

Bon profit. Hanaga.