Tots pensareu que l'afirmació que es fa al títol és totalment falsa però quotidianament, de manera inconscient, utilitzam aquesta igualtat. Per exemple, si hem de partir una unitat de qualsevol cosa en tres parts iguals, aquestes quedarien així:
1/3= 0.3333333333333333333333333333...
1/3= 0.3333333333333333333333333333...
1/3= 0.3333333333333333333333333333...
Però si ara les ajuntam de nou:
3/3= 0.9999999999999999999999999999...
1= 0.99999999999999999999999999999...
De fet, això ocorr amb més nombres com el número 2:
2/3= 0.66666666666666666666666666666...
2/3= 0.66666666666666666666666666666...
2/3= 0.66666666666666666666666666666...
6/3= 1.99999999999999999999999999998...
2= 1.999999999999999999999999999998...
I torna a ocórrer un fet similar si la unitat és dividida per un nombre com 9, per exemple:
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
1/9= 0.111...
9/9= 0.999...
1= 0.999...
De fet, s'ha arribat a establir que 0.999... = 1 en els llibres de matemàtiques. S'han trobat diverses maneres molt complexes per explicar aquest fenomen i s'ha debatut moltes vegades si aquesta afirmació és verídica.
Ara que hem fet les successions a classe voldria compartir una curiositat que he vist a la Viquipèdia. Es tracta de la sèrie divergent 1-2+3-4+...
En teoria, aquesta sèrie no té suma. Però Euler va descobrir que la suma de m termes d'aquesta successió sumats donava exactament 1/4.
La viquipèdia ho explica així:
"Degut a que els termes (1, −2, 3, −4, 5, −6, ...) segueixen un patró simple, es pot expressar a la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + ... com una versió transformada d'ella mateixa i resoldre l'equació resultant per obtenir un valor numèric. Suposant que fos correcte expressar s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... per algun nombre s, les següents relacions condueixen a mostrar que s = 1/4:
s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = (1 − 1 + 1 − 1 + ...) + (0 − 1 + 2 − 3 + ...) = h − s,
on h és la "suma" de la sèrie:
h = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = 1 − (1 − 1 + 1 − ...) = 1 − h.
Resolent les equacions h = 1 − h i s = h − s s'obté que h = 1/2 i s = (1/2)h = 1/4.
En forma equivalent, es pot reordenar les equacions d'un forma d'obtenir (s + s) + (s + s) = h + h = 1, la qual novament implica que s = 1/4; sent aquesta la forma que es mostra al esquema de la dreta i en l'expressió a continuació:
s = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . . .s = + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . .s = + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .s = + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .--------------------------------------
4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . "
Si ara aïllassim s veuríem que:
s= 1/4
Bon profit. Hanaga.
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada