Els nombres amics

Nombres amics

Dos nombres amics són dos nombres enters positius tals que la suma dels divisors propis de un dels dos nombres es igual a l’altre (la unitat es considera divisor propi, però no ho és el mateix nombre).

Un exemple és el parell (220, 284), ja que:

·  els divisors propis de 220 són 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, que sumen 284

· els divisors propis de 284 són 1, 2, 4, 71 i 142, que sumen 220

Per als pitagòrics els nombres amics tenien moltes propietats místiques.

Alrededor de l’any 850, Tabit ibn Qurra (826-901) va descobrir una fórmula general per la qual es podien trobar nombres amics:

                                                      si               p = 3 × 2^n-1 - 1,

                                                            q = 3 × 2ⁿ - 1,

                                                             r = 9 × 2^2n-1 - 1,

on n > 1 és enter i p, q, i r són nombres primers, llavors     2ⁿpq y    2ⁿr     són un parell de nombres amics

Aquesta fórmula genera els pars (220, 284), (17.296, 18.416) i (9.363.584, 9.437.056).

El parell (6232, 6368) també es de números amics, però no es pot trobar per la fórmula anterior.

Si un nombre és amic de sí mateix (es igual a la suma dels seus divisors propis), rep el nom de nombre perfecte.