dimarts, 10 de desembre del 2013

Un cinturó que envolta la Terra

Imagineu que li posem a la terra un cinturó a l'equador ( per simplificar , suposarem que la terra és totalment esfèrica ) . Doncs bé , la longitud d' aquest cinturó deuria tenir una longitud de més de 40 milions de metres , anem , que ens sortiria una mica car . Tallem el cinturó per un punt qualsevol ii afegim per allà un metre de cinturó més . Un cop fet això , amb aquesta amplada extra , separem el cinturó de la terra la mateixa distància per tots els punts . Sense fer cap càlcul i responent intuïtivament , quanta serà l'altura que s'elevarà el cinturó ? Podrem ficar un foli per sota ? Uhm , no sé ... ¿ I la mà ? Si no estiguéssiu sospitant que hi ha un parany , segur que hauríeu dit que no ...

Doncs la resposta és que es podrà aixecar gairebé ¡ 16 centímetres ! Com és això ? Bé , si L és la longitud inicial del cinturó en metres i R és el radi de la terra en metres , i per tant de la circumferència que forma el cinturó , tindrem la següent relació :

L = 2·π (pi)·R

Ara bé , si afegim un metre al cinturó, el ​​nou ràdio del cinturó serà R + h, on h és l'altura a la qual s'elevarà el cinturó uniformement del sòl , tenint la següent relació :

L +1 = 2·π (pi)·( R + h ) .

Restant ara les dues expressions anteriors haurem de

1 = 2 · π (pi)·h

Aclarint ara h ,

h = 1/2·π (pi)


que aproximadament són 16 centímetres . ¿ Sorprenent ? El problema és que un pensa que deu ser molt menys perquè 1 metre és menyspreable al costat de més de 40 milions de metro de cinturó . Però clar, el mateix passa amb 16 centímetres al comparar-los amb el radi de la Terra , de fet ambdues quantitats seran menyspreables en la mateixa proporció .

L'ORIGEN DELS SÍMBOLS MATEMÀTICS

L'origen dels símbols matemàtics - El matemàtic alemany Michael Stifel (1485 -1567) en la seva obra Arithmetica Integra popularitzaà els símbols "+" i " - " desplaçant als signes " p" ( plus ) i " m " ( minus ) . Segons el matemàtic espanyol Rey Pastor (1888-1962) , els signes " + " i " - " van ser utilitzats per primera vegada pel científic alemany Widmann ( 1460-1498 ) .
- Robert Recode (1510-1558) , matemàtic i metge anglès , va ser el creador del símbol "=" . Per a ell no hi havia dues coses més iguals que dues línies rectes paral · leles .
- El símbol que coneixem com a " arrel de... " va aparèixer per primera vegada en un llibre alemany d'àlgebra el 1525 . Abans , per designar l'arrel d'un nombre s'escrivia literalment "arrel de ..." . Per abreujar es va usar simplement la lletra " r" , però quan els nombres eren grans s'allargava el traç horitzontal de la mateixa donant origen al símbol que utilitzem avui en dia .
- El matemàtic François Viète (1540 - 1603) va ser el primer a utilitzar lletres per designar les incògnites i constants .
- A Tomas Harriot (1560 - 1621) li devem els signes actuals de " > " i "<" , i el " . " Com a símbol de multiplicació .
- Els símbols de multiplicació "x " i divisió " : " van ser introduïts pel matemàtic William Oughtred (1574-1660) l'any 1657 .
- El símbol de la integral va ser proposat per Gottfried Leibniz (1646-1716) i el va extreure de la paraula llatina " summa " prenent la seva inicial . A Leibniz li devem molts més signes de notació com " dx " i a més va ser qui va popularitzar el ". " Com a signe de multiplicació .

Forats negres numèrics

Hi ha nombres que atreuen a d'altres nombres després de realitzar-lis certes operacions, nombres que, quasi per art de màgia, surten sempre com a resultat d'aquests càlculs. Com per exemple el 6174 (la constant de Kaprekar per nombres de quatre xifres) o el 1089. Els he comparat amb els forats negres perquè  arribes a aquests nombres i no pots sortir d'ells.

Però ara parlaré del número 123 que el converteix en un d'aquests forats negres numèrics.
La propietat del 123 a la qual em refereixo és la següent :

Prenem un nombre enter positiu qualsevol de tres o més xifres i comptem quantes d'elles són parells i quantes imparells , i amb aquestes dades construïm un nombre de la forma següent: col·loquem primer la quantitat de xifres parells que tenia l'inicial , després la quantitat de xifres imparells i després la quantitat total de xifres que tenia . Amb el número obtingut fem el mateix , i així successivament . Sigui quin sigui el nombre inicial sempre acabarem al 123 , i no sortirem d'ell .

Posem un exemple:
Agafem , per dir-ne algun, el 863.112 . Té 3 xifres parells ( el 8 , el 6 i el 2 ) i 3 imparells ( el 3 , l'1 i l'1 ) . Com que té 6 xifres , amb ell obtindríem el nombre 336 . Fem el mateix amb aquest: 1 dígit parell (6 ) i 2 imparells ( 3 i 3 ) . Com que té 3 xifres , obtenim amb ell el 123 . I ara, el 123 té una parell ( el 2 ) , dos imparells (l'1 i el 3 ) i tres dígits , obtenint així el nombre 123 de nou . Per tant el 123 s'ha empassat al 863.112. (D'aquí el nom que he posat de títol).

La qüestió és que és bastant senzill demostrar aquesta propietat. Anem a veure :

Si el nombre té 3 xifres poden passar diverses coses :

- Que les tres siguin parells : llavors tindrem 0 imparells , de manera que obtindríem el 303 . Aquest té una parell i dos imparells , de manera que , com que té tres xifres , arribem al 123 .

- Que les tres siguin imparells : tindrem ara 0 parells , de manera que tindríem el nombre 033 . Tornem a tenir una parell ( recordeu que el zero és un nombre parell ) i dos imparells , arribant igual que abans al 123 .

- Que hi hagi dos parells i una imparell : obtindríem d'ell el 213 . Aquest nombre té una parell i dos imparells, de manera que arribaríem de nou al 123 .

- Que hi hagi dos imparells i una parell : en aquest cas ens surt directament el 123 .

Si el nombre té 4 xifres o més , arribarem sempre a un nombre de 3 xifres després d'aplicar aquest procés una certa quantitat de vegades . Quan s'arribi a aquest punt s'utilitza el que hem comentat abans i tornem a arribar , sempre , al 123 .

En conseqüència, aquesta propietat del 123 és certa sigui quin sigui el nombre enter positiu de tres o més xifres amb què comencem .

Per posar un exemple amb un nombre gran , agafem un nombre de 63 xifres :

399840028756614602276545678984903947256874545784954397511264688
Aquest número té 34 xifres parells i 29 imparells , pel que mitjançant el mètode descrit obtindríem d'ell el nombre 342.963 . Aquest té 3 parells i 3 senars , obtenint llavors el 336 , que té una parell i dos imparells i , per tant , ens proporciona el 123 .

dilluns, 9 de desembre del 2013

El nombre e

La constant matemàtica e, és un dels més importants nombres reals.  Aquest nombre és conegut, de vegades com nombre d'Euler o constant de Napier,  utilitzat per primera vegada pel matemàtic escocès John Napier, qui va introduir el concepte de logaritme en el càlcul matemàtic.
És considerat el nombre per excel·lència del càlcul. El nombre e, igual que el nombre π, i el nombre auri φ, és un irracional, no expressable per la raó de dos enters, o bé, no pot ser expressat amb un nombre finit de xifres decimals o amb decimals periòdics. A més, és un nombre transcendent, és a dir, que no pot ser obtingut mitjançant la resolució d'una equació algebraica amb coeficients racionals.

El seu valor aproximat és: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...


Origen:

El "descobriment" de la constant està acreditat a Jacob Bernoulli, qui va estudiar un problema particular de l'anomenat interès compost. Per tant, va observar que cada vegada que s'augmenta la quantitat de períodes de pagament en un factor de n (que tendeix a créixer sense límit) i es redueix la taxa d'interès en el període, en un factor de 1/n, el total d'unitats monetàries obtingudes està expressat per la següent equació:





Bernoulli va comprovar que aquesta expressió s'aproxima al valor 2,7182818 ...UM .


La definició més comuna de e és com el valor límit de la sèrie





que s'expandeix com:




Una altra definició habitual donada a través del càlcul integral és com a solució de l'equació:




que implica: 





Propietats:

-Càlcul
La funció exponencial f(x) = e^x és la seva pròpia derivada. 
A més e és el límit d'una successió. 

-Desenvolupament decimal no mostra regularitat alguna.

-Nombres complexos:
El nombre e presenta a la fórmula d'Euler un paper important relacionat amb els nombres complexos:
El cas especial amb x = π és conegut com a identitat d'Euler:

del que es dedueix que:

A més, utilitzant les lleis de la exponenciació, s'obté la formula de De Moivre.

Teresa Pons Bosch

Nombres negatius

Brahmagupta, científic i matemàtic indi, en el 628 de la nostra era, considera les dues arrels de les equacions quadràtiques, encara que una d'elles sigui negativa o irracional. De fet en la seva obra és la primera vegada que apareix sistematitzada l'aritmètica (+, -, / , potències i arrels) dels nombres positius, negatius i el zero, que ell cridava els béns, els deutes i el no-res.

Així, per exemple, per al quocient, estableix:Positiu dividit per positiu, o negatiu dividit per negatiu, és afirmatiu. Xifra dividit per xifra és res (0/0=0). Positiu dividit per negatiu és negatiu. Negatiu dividit per afirmatiu és negatiu. Positiu o negatiu dividit per xifra és una fracció que la té per denominador (a/0=?)

No solament va utilitzar els negatius en els càlculs, sinó que els va considerar com a entitats aïllades, sense fer referència a la geometria. Tot això es va aconseguir gràcies a la seva despreocupació pel rigor i la fonamentació lògica, i la seva mescla del pràctic amb el formal.

No obstant això el tractament que van fer dels negatius va caure en el buit, i va ser necessari que transcorreguessin diversos segles (fins al Renaixement) perquè fos recuperat.

Pel que sembla els xinesos també posseïen la idea de nombre negatiu, i estaven acostumats a calcular amb ells utilitzant varetes negres per als negatius i vermelles per als positius.

Orlando Canet

diumenge, 1 de desembre del 2013

- “Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual Déu ha escrit l’univers.”
Galileo Galilei                     

El nombre d’Or

Coneixem com a nombre d’or com el quocient irracional que es dona entre un segment menor i un segment major. Però el que no sabem és que aquest nombre el veiem constantment en infinitats de mides del nostre dia a dia.
A continuació explicaré d’on prové aquest nombre:

Aquesta relació prové de la proporcionalitat àuria, que ve donada de la proporcionalitat que establim una relació de grandària amb la mateixa proporció.
D’aquesta manera, estudiant aquesta proporció àuria, obtenim una equació de segon grau donada de la següent manera:  


- Així mateix, si la resolem, ens dona dos resultats possibles, igual que en totes les equacions de segon grau:
X= 0’618...
X= -1’618...

- Per tant, si substituïm aquests resultats a la relació proposada anteriorment veim que:


Per tant ja sabem d’on prové matemàticament xerrant el nombre d’or, passem ara a veure un poc de l’història d’aquest nombre.
Per començar, no és sap amb certesa quan va ser descoberta la secció àuria, ja que hem trobat bastantes evidències sobre la participació d’aquesta en diferents civilitzacions de l’antiguitat, com per exemple:

- En els babilònics: en l’estrella de cinc puntes trobada en les tauletes de fang és veu aquesta proporció.
- En els antics egipcis: on trobem el la successió en les proporcions de la piràmide de Giza.
- En l’antiga Grècia: és creu que la proporció àuria va ser descoberta per els pitagòrics degut a la seva importància geomètrica. Però en molts monuments com el Partenó.
- Finalment, en l’arquitectura romànica també trobem sovint la proporció àuria.

D’altra banda, el nombre d’or s’ha aplicat a altres construccions com a la piràmide de Keops, a temples de l’antiga Grècia, a l’Alhambra, en pintura (Dalí, Botticelli...) i, fins i tot en música (compositors com Bela Bartok o Olivier Messiaen utlitzaren la sèrie matemàtica de Fibonacci, basada en el nombre d’or, per a la duració de les notes d’algunes obres), i en la naturalesa

- Per exemple, en el pentàgon pitagòric:

- Dividim el segment major entre el següent més major, sense comptar l’anterior, i ho fem amb les quatre grandàries distintes de segments que tenim:

AD = 8,1 cm              DQ = 5 cm                 QP = 1,85 cm             PB  = 3 cm

AD/DQ = 8,1/5 = 1,62        
DQ/QP = 5/3 = 1,66       
QP/PB = 3/1,85= 1,62          

- També en el Partenó Grec:
En el Partenó grec podem trobar el nombre d’or en AC/AD i CD/CA entre d’altres.

Trobem el nombre d'or a infinitats de objectes, mides... dels actuals i més cüotidians. En alguns casos actuals on podríem trobar el nombre d’or seria:
- En una tarjeta de crèdit:
Mesurant els costats de la tarjeta veim que medeixen 5,4 i 8,7cm. Per tant la divisió dels dos costats ens dona el nombre d’auri.



- En el gira-sol, s’observen varies espirals logarítmiques: unes giren en el
sentit de les agulles del rellotge i d’altres en contra. També s’observen espirals
logarítmiques en la forma dels cargols, l’exemple més evident és el Nàutil.




Alba Bagur Carrasco