Forats negres numèrics

Hi ha nombres que atreuen a d'altres nombres després de realitzar-lis certes operacions, nombres que, quasi per art de màgia, surten sempre com a resultat d'aquests càlculs. Com per exemple el 6174 (la constant de Kaprekar per nombres de quatre xifres) o el 1089. Els he comparat amb els forats negres perquè  arribes a aquests nombres i no pots sortir d'ells.

Però ara parlaré del número 123 que el converteix en un d'aquests forats negres numèrics.
La propietat del 123 a la qual em refereixo és la següent :

Prenem un nombre enter positiu qualsevol de tres o més xifres i comptem quantes d'elles són parells i quantes imparells , i amb aquestes dades construïm un nombre de la forma següent: col·loquem primer la quantitat de xifres parells que tenia l'inicial , després la quantitat de xifres imparells i després la quantitat total de xifres que tenia . Amb el número obtingut fem el mateix , i així successivament . Sigui quin sigui el nombre inicial sempre acabarem al 123 , i no sortirem d'ell .

Posem un exemple:
Agafem , per dir-ne algun, el 863.112 . Té 3 xifres parells ( el 8 , el 6 i el 2 ) i 3 imparells ( el 3 , l'1 i l'1 ) . Com que té 6 xifres , amb ell obtindríem el nombre 336 . Fem el mateix amb aquest: 1 dígit parell (6 ) i 2 imparells ( 3 i 3 ) . Com que té 3 xifres , obtenim amb ell el 123 . I ara, el 123 té una parell ( el 2 ) , dos imparells (l'1 i el 3 ) i tres dígits , obtenint així el nombre 123 de nou . Per tant el 123 s'ha empassat al 863.112. (D'aquí el nom que he posat de títol).

La qüestió és que és bastant senzill demostrar aquesta propietat. Anem a veure :

Si el nombre té 3 xifres poden passar diverses coses :

- Que les tres siguin parells : llavors tindrem 0 imparells , de manera que obtindríem el 303 . Aquest té una parell i dos imparells , de manera que , com que té tres xifres , arribem al 123 .

- Que les tres siguin imparells : tindrem ara 0 parells , de manera que tindríem el nombre 033 . Tornem a tenir una parell ( recordeu que el zero és un nombre parell ) i dos imparells , arribant igual que abans al 123 .

- Que hi hagi dos parells i una imparell : obtindríem d'ell el 213 . Aquest nombre té una parell i dos imparells, de manera que arribaríem de nou al 123 .

- Que hi hagi dos imparells i una parell : en aquest cas ens surt directament el 123 .

Si el nombre té 4 xifres o més , arribarem sempre a un nombre de 3 xifres després d'aplicar aquest procés una certa quantitat de vegades . Quan s'arribi a aquest punt s'utilitza el que hem comentat abans i tornem a arribar , sempre , al 123 .

En conseqüència, aquesta propietat del 123 és certa sigui quin sigui el nombre enter positiu de tres o més xifres amb què comencem .

Per posar un exemple amb un nombre gran , agafem un nombre de 63 xifres :

399840028756614602276545678984903947256874545784954397511264688
Aquest número té 34 xifres parells i 29 imparells , pel que mitjançant el mètode descrit obtindríem d'ell el nombre 342.963 . Aquest té 3 parells i 3 senars , obtenint llavors el 336 , que té una parell i dos imparells i , per tant , ens proporciona el 123 .